بررسی برخی از شاخص های توپولوژیک گراف ها

سالیان سال است که بشر به علم ریاضیات مشغول است, اما طی چند سده ی اخیر این علم همانند ابزاری قوی در اختیار دیگر علوم قرار گرفته است و دانشمندان در عرصه های مختلف به قدرت ریاضیات, این دانش باستانی, که برخی از آن به عنوان مادر علوم یاد می کنند پی برده اند و در راستای رسیدن به اهداف خود استفاده می کنند. حال اولین قدم در استفاده از هر علمی در علم دیگر, ساختن یک پل ارتباطی بهینه میان آن دو علم است. اولین و موثرترین گامی که ریاضیات و ریاضیدان برای ورود به سایر علوم می تواند بردارد, مدل سازی و تبدیل مسائل دیگر به زبان ریاضی است. پس از ایجاد این ارتباط, بسته به نیاز, هر یک از شاخه های ریاضی نظیر نظریه گراف ها, معادلات دیفرانسیل, بهینه سازی و غیره می توانند در خدمت گرفته شوند. از جمله دانش هایی که در دهه ی اخیر پیشرفت چشم گیری داشته شیمی بوده است. دانشمندان این رشته با بکارگیری از علم ریاضی سعی در پیشبرد در علم خود دارند و تا حدی ریاضیات برای آن ها نقش کاتالیزور را داشته و باعث تسریع در کارشان می شود. گراف های شیمیایی یکی از شاخه های علم ریاضیات شیمی است شاخه ای که به استفاده ی نظریه گراف در شیمی, جهت مدل کردن و دیگر موارد اختصاص دارد. ساختار مولکولی داروها و سایر ترکیبات شیمیایی را می توان به صورت اشکالی چندضلعی, مسیرها, درخت ها, گراف ها یا غیره مدل سازی نمود. هر اتم از مولکول به صورت یک رأس و پیوند کوالانسی بین اتم ها توسط یال های بین رأس ها نشان داده می شود. این ساختار برای یک ترکیب شیمیایی, گراف شیمیایی یا گراف مولکولی این ترکیب نامیده می شود. یکی از ابتدایی ترین مفاهیم در گراف های شیمیایی, مفهوم شاخص های توپولوژیک‎ است. شاخص توپولوژیک مفهومی کاملا گرافی بوده که کاربردهای مختلفی در نانوتکنولوژی, شیمی, علم مواد, داروسازی و دیگر عرصه ها دارد. شاخص توپولوژیک یک عدد حقیقی است که به یک گراف مولکولی نسبت داده می شود, این شاخص ها نسبت به یکریختی گراف ها پایا هستند, تا به حال چندین شاخص توپولوژیک تعریف شده اند و بسیاری از آن ها به عنوان وسیله ای برای مشخص کردن خاصیت های شیمیایی و فیزیکی مولکول ها استفاده می شوند.شاخص وینر‎ که به اختصار با w نشان داده می شود, اولین شاخص توپولوژیکی است که در شیمی استفاده شده است. شاخص وینر توسط شیمیدان, هارولد وینر, در سال ‎1947‎ برای نشان دادن رابطه ی بین خواص فیزیکی و شیمیایی, ترکیبات آلی و ساختار توپولوژیکی گراف های مولکولی آن ها, معرفی شده است. او در این سال شاخص وینر را برای بدست آوردن نقطه ی جوش پارافین معرفی کرد, به زبان شیمی شاخص وینر, برابر با جمع همه ی کوتاه ترین مسیرهای زنجیره کربن-کربن در یک مولکول می باشد. شاخص دیگری که پس از وینر تعریف شد, شاخص سگد می باشد. شاخص سگد به نوعی تعمیم شاخص وینر برای گراف های دارای دور است. این شاخص که به اختصار با‎s_z نشان داده می شود, توسط ایوان گوتمن در دانشگاه آتیلا جزف در سگد یکی از شهرهای مجارستان تعریف شد و همین عامل باعث نام گذاری این شاخص به این نام شد,خالی از لطف نیست یادآوری کنیم که گوتمن در مقاله سال ‎1994‎ خود, وجود شاخص سگد را حدس زد و به اختصار آنرا با ‎w*‎ نشان داد. در آن مقاله او هیچ نامی برای این شاخص ارائه نداده است. یکی دیگر از شاخص های توپولوژیکی که به تازگی معرفی شده است.شاخص پادماکار-ایوان می باشد این شاخص مخفف نام بنیان گذارانش, یعنی پادماکار خادیکار و ایوان گوتمن است و به اختصار با‎pi نشان داده می شود. این شاخص از شاخص هایی است که در پیش بینی داروها و نیتروبنزن ها کاربرد زیادی دارد. ترکیبات با ساختار مختلف و شاخص های توپولوژیک مختلف, حتی با یک فرمول شیمیایی, خواص مختلفی می توانند داشته باشند به عنوان مثال, کاکائین و اسکوپولامین هر دو با فرمول شیمیایی یکسان c_{17}h_{21}no_4‎, خواص مختلف و شاخص وینر متفاوتی دارند. هم چنین شاخص های توپولوژیک می توانند در ساختن یک ترکیب با خواص معین مورد استفاده قرار گیرند. بنابراین, مطالعه ی ساختار گراف مولکولی و هم چنین شاخص های توپولوژیک, در کنار فرمول شیمیایی واقعا مهم است. هدف اصلی این پایان نامه, محاسبه ی فرمول دقیقی برای شاخص های توپولوژیکی گراف های ترکیبی با استفاده از شاخص های توپولوژیک گراف های اولیه ی آن ها می باشد. این گراف های ترکیبی توسط اعمال گراف ها از جمله پیوند, ترکیب, ضرب دکارتی و ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته و غیره روی دو یا چند گراف اولیه بدست می آید. هر یک از این گراف های ترکیبی می توانند یک ترکیب شیمیایی باشند که از مولکول های معمولی ساخته شده اند. به عنوان مثال بنزن یک مولکول شیمیایی با شش کربن و شش هیدروژن است که به راحتی توسط یک شش ضلعی منتظم قابل نمایش می باشد. این مولکول در شیمی از اهمیت زیادی برخوردار است, زیرا مولکول هایی تحت عنوان بنزنویدها که مولکول های پرکاربردی هستند, از کنار هم قرار گرفتن این بنزن ها با پیوندهای مناسب ایجاد می شوند. ‎در فصل اول به توضیح اعمال گراف ها پرداخته ایم و پس از آن ارتباط نظریه گراف و شیمی و بدست آوردن گراف شیمیایی یک مولکول را توضیح خواهیم داد, برای رسیدن به این هدف ابتدا به مقدماتی از نظریه گراف نیازمندیم. مطالب این فصل به گونه ای تنظیم شده که خواننده بتواند در کمترین زمان, با اصلی ترین مفاهیمی که در فصل های بعد مورد استفاده قرار می گیرند, آشنا گردد. فضای اشیاء مورد مطالعه در این پایان نامه فضای گراف های ساده, بدون جهت و گراف های همبند هستند. در فصل دوم تعریف دقیقی برای شاخص سگد ارائه می دهیم, و پس از آن این شاخص را به روش ماتریسی برای پیوند و ترکیب گراف ها محاسبه می کنیم. در دو بخش آخر ابتدا فرمولی برای محاسبه ی شاخص سگد برای ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته ی گراف ها بدست می آوریم و در ادامه کاربردهایی از این عمل را در محاسبه ی شاخص سگد چند مولکول شیمیایی ارائه می دهیم. در فصل سوم ابتدا شاخص وینر را تعریف می کنیم, در ادامه به محاسبه ی این شاخص برای چند عمل دودویی گراف ها و چند مثال در محاسبه ی شاخص وینر برای این اعمال خواهیم پرداخت. در فصل چهارم, ضمن معرفی شاخص پادماکار-ایوان, ابتدا فرمولی برای محاسبه ی این شاخص برای پیوند و ترکیب گراف ها به روش ماتریسی ارائه می کنیم, در ادامه این شاخص را برای ضرب سلسله مراتبی تعمیم یافته ی گراف ها محاسبه کرده و در بخش آخر به بیان کاربردهایی از این عمل در محاسبه ی شاخص پادماکار-ایوان چند مولکول شیمیایی خواهیم پرداخت.